Dieses 3D-Modell, das auf gepostet wurdeprintables.com, ist eine Kopie der echten Klein-Flasche von Mitsugi Ohno.

Hier ist die Geschichte über die "echte Klein-Flasche".

Im Jahr 1892 beschrieb der Mathematiker Felix Klein zum ersten Mal dieKleinflascheals ein Objekt, das eine einzige Oberfläche hat. Es ist mit einem Gedankenexperiment konstruiert, bei dem man sich eine Flasche vorstellt und dann den Hals der Flasche so umwickelt, dass er durch die Seite der Flasche geht und die Oberseite des umwickelten Flaschenhalses mit einem Loch im Flaschenboden verbunden wird. Aus mathematischer Sicht kann der Hals der Flasche die Oberfläche der Flasche nicht berühren, wenn er durch die

Mitsugi Ohno von der Kansas State University war die erste Person, die eine echte Klein-Flasche geschaffen hat; das ist eine Klein-Flasche mit einem Loch an der Seite.

Hier ist ein Text, der aus dem kopiert wurde.Mitsugi Ohno's Wikipedia-Seite:

Im Jahr 1961 bat Professor Cardwell von der Kansas State University Mitsugi Ohno, eine echte Glas-Klein-Flasche zu konstruieren, eine einseitige Figur, die formal als "eine Hülle, die mit ihrer Außenfläche kontinuierlich ist, beschrieben wird, die durch das Verdrehen eines Rohres durch eine Öffnung in der Seite des Rohres und das Verbinden mit dem anderen Ende konstruiert wird".

Kleine Flaschen waren zuvor von anderen Glasbläsern hergestellt worden, aber ihre Versionen waren versiegelt und hatten kein offenes Loch, durch das der Schlauch durch die Seite der Flasche führte. Nach mehreren Tagen, in denen es ihm nicht gelang, eine solche Klein-Flasche mit einer Öffnung herzustellen, erklärte er es für unmöglich. Doch die Lösung des Problems offenbarte sich Ohno in einem Traum, und er eilte in sein Büro

 

Das UnternehmenACME-KleinflaschenSie verkaufen viele Größen und Formen von sehr schönen Glas-Klein-Flaschen. Sie haben Fachkenntnisse über Klein-Flaschen.

Jede Glas-Klein-Flasche wird mit ausführlicher Dokumentation geliefert. Hier ist ein Zitat aus der Produktdokumentation von ACME Klein Bottles: "Wir stellen es in Glas dar, indem wir den Hals einer Flasche durch ihre Seite strecken und ihr Ende mit einem Loch im Boden verbinden. Außer bei der Seitenverbindung zeigt dies die Form einer echten Klein-Flasche." Nach eigenen Angaben verkaufen ACME Klein-Flaschen keine "echten Klein-Fl

Während seiner Zeit an der Kansas State University stellte Mitsugi Ohno 25 echte Glas-Klein-Flaschen her. Zum Zeitpunkt dieser Veröffentlichung ist meines Wissens nach die einzige andere Person, die eine echte Glas-Klein-Flasche hergestellt hat,Lucas Clarke.

Die echte Klein-Flasche ist eine bemerkenswerte 3D-Darstellung eines 4D-Objekts; jedoch habe ich mehrere Leute getroffen, die nicht davon überzeugt sind, dass das Loch an der Seite die beste Darstellung ist, daher argumentiert der folgende Aufsatz diesen Punkt.

Essay über die echte Klein-Flasche:

Wir sind auf der Suche nach der besten 3D-Darstellung des 4D-Objekts. Was als das Beste betrachtet wird, ist nicht ganz subjektiv. Was folgt, sind Argumente für die echte Klein-Flasche, wie sie von Mitsugi Ohno gemacht wurden. Es gibt hauptsächlich 2 Anwärter für die beste Darstellung:

1. Die echte Klein-Flasche, die ein Loch an der Seite hat.
2. Eine Klein-Flasche ohne Loch.

Wie von Felix Klein vorgestellt, kann die Oberfläche des Flaschenhalses die Oberfläche des Flaschenkörpers nicht berühren. Die Klein-Flasche kann nur in 4 räumlichen Dimensionen existieren. Da wir in 3 räumlichen Dimensionen leben, ist es für uns schwierig, uns vorzustellen, wie das aussehen würde.

Vielleicht ist es einfacher, sich das vorzustellen, wenn wir das Gedankenexperiment in der 2D-Welt beginnen. Diese Illustration ist ein Beispiel für ein 2D-Objekt, das sich selbst schneidet.

Nehmen wir an, ein Professor in dieser 2D-Welt sagt, dass dieses Objekt sich nicht selbst überschneidet und dass einer der Pfade im 3D-Bereich über den anderen hinwegkrümmt, um die Überschneidung zu vermeiden. Die folgende Illustration zeigt, wie das Objekt für uns in der 3D-Welt aussehen würde.

Allerdings können die Menschen in der 2D-Welt den Teil des Objekts, der in 3D existiert, nicht sehen, also sieht das Objekt für sie so aus wie das hier gezeigte.

Natürlich könnte es sein, dass es die andere Kante ist, die in den 3D-Raum geht. In diesem Fall würden die 2D-Leute die folgende Figur sehen.

Wir können diese Bilder für unsere 4D-Klein-Flaschen-Darstellung in unserer 3D-Welt erweitern. Hier ist eine Illustration unserer 3D-Klein-Flasche, bei der sich die beiden Oberflächen schneiden.

Natürlich sieht die Illustration nicht korrekt aus, weil Felix Klein erklärt hat, dass sich die beiden Oberflächen nicht schneiden können. So sieht die lückenlose Klein-Flasche aus, aber sie sieht eindeutig nicht richtig aus, weil die beiden Oberflächen sich gegenseitig berühren.

Die folgende Illustration zeigt unsere 3D-Klein-Flasche, bei der der Hals in den 4D-Raum eintritt und somit für uns unsichtbar wird.

Der Hals, obwohl er in 4D existiert, durchdringt die Oberfläche der Flasche, ohne sie zu berühren, und trifft sich wieder mit dem Hals im Inneren der Flasche im 3D-Raum. Diese Ansicht ist technisch korrekt, da die beiden Oberflächen sich nicht berühren, aber es ist verwirrend, sie anzuschauen; man kann nicht sehen, was im Inneren passiert.

Die nächste Illustration zeigt unsere 3D-Klein-Flasche, bei der die Oberfläche der Flasche in den 4D-Raum eintritt, so dass sie für uns unsichtbar ist.

Wir können den Hals sehen, weil er im 3D-Raum verbleibt. Es ist für uns klar, dass der Hals bis in das Innere der Flasche reicht und die Oberfläche der Flasche nicht schneidet. Wenn wir eine solche Flasche in unserer 3D-Welt herstellen würden, könnte ein Beobachter vorgeben, dass wir tatsächlich ein 4D-Objekt hergestellt haben, indem er sagt: "Die Oberfläche ist kontin

Der logische Fall dafür, dass dies der beste Weg ist, die 4D-Klein-Flasche in unserer 3D-Welt darzustellen, scheint stichhaltig zu sein, aber es gibt immer noch Leute, die gegen dieses Loch Einwände erheben, also lassen Sie mich zwei weitere Argumente für die Verwendung des Lochs vorbringen.

Argument 1:

Die Leute ohne Loch mögen dieses Design:

Aber wenn Sie den Hals von der Klein-Flasche ohne Loch entfernen, sehen Sie die Struktur, die in der folgenden Illustration gezeigt wird.

Die Kleinflasche der "Kein-Loch"-Leute hat ein Loch in der Oberfläche, also widersprechen die "Kein-Loch"-Leute vermutlich nicht der Existenz eines Lochs, sondern eher der Größe des Lochs. Wenn das Modell aus Glas hergestellt ist, ist es möglich zu sehen, dass es ein Loch gibt, ohne den Hals zu entfernen. Ihr Argument für "kein Loch" scheint weniger solide zu sein, als es ursprünglich

Argument 2:

Ein weiterer Test zur Bewertung der besten 3D-Darstellung der 4D-Kleinschen Flasche ist ein Gedankenexperiment, bei dem man entlang der Oberfläche der Kleinschen Flasche reist, um zu beweisen, dass sie eine einzige Oberfläche enthält. Wenn man sich vorstellt, wie eine Ameise entlang der Oberfläche kriecht, oder wie man mit dem Finger über die Oberfläche streicht, oder wie ein Pinsel die Oberfläche malt

Ihre Ameise, Ihr Finger oder Ihr Pinsel können leicht entlang der Oberfläche der Klein-Flasche reisen und wieder dorthin zurückkehren, wo sie begonnen hat. Dabei verläuft die Reise entlang des Halses der Flasche bis zu dem Ort, an dem die Ameise, der Finger oder der Pinsel durch das Loch hindurchgehen. Ohne das Loch werden die Ameise, der Finger oder der Pinsel blockiert und können nicht durch die Seite der

 

Ein weiteres Design, das selten diskutiert wird, ist das, bei dem überhaupt keine Löcher vorhanden sind, wie in der folgenden Illustration gezeigt wird.

Mit dieser 3D-Darstellung werden die Reisewege sowohl innerhalb als auch außerhalb des Halses blockiert.

 

Manchmal argumentieren die Leute ohne Loch, dass das Ganze verboten ist. Sie weisen zu Recht darauf hin, dass die 4D-Klein-Flasche keine Kanten hat. Genau wie bei einer Kugel, wenn man entlang der Oberfläche der 4D-Klein-Flasche reist, wird man nie von einer Wand blockiert oder an einer Kante aufgehalten. Man kann kontinuierlich in jede Richtung reisen. Die 3D-Darstellung mit einem Loch erlaubt diese

• Wenn du versuchst, kontinuierlich über die Oberfläche der 3D-Klein-Flasche zu reisen, die ein Loch um den Hals hat, stoppt die Reise schließlich am Rand des Lochs.

Allerdings besteht auch die 3D-Darstellung ohne Loch diesen Test nicht:

• Wenn Sie versuchen, kontinuierlich über die Oberfläche der 3D-Klein-Flasche zu reisen, die kein Loch hat, wird die Reise an der Kreuzung des Halses und der Oberfläche der Flasche blockiert.

 

Ich kann nur an 2 Vorteile des No-Hole-Klein-Flaschen-Designs denken:

1. Wenn du die 3D-Klein-Flasche aus Glas herstellst, ist es viel einfacher, sie ohne Loch zu machen.
2. Du kannst eine lückenlose 3D-Klein-Flasche mit Flüssigkeit füllen. Wenn du versuchst, Flüssigkeit in eine Klein-Flasche zu gießen, die ein Loch um den Flaschenhals hat, fließt die Flüssigkeit aus dem Loch, wenn du die Flasche drehst.

Diese 2 Vorteile sind praktisch und haben nichts mit den topologischen Argumenten für die beste Darstellung zu tun.

Daher schließe ich, dass die beste 3D-Darstellung der 4D-Klein-Flasche mit einem Loch an der Seite ist. Und die beste Form, die in diesem 3D-Modell verwendet werden kann, ist die, die von Mitsugi Ohno im Jahr 1961 mit einem Loch an der Seite erstellt wurde.

 

Druckvorschläge:

Dieses 3D-Modell enthält, genau wie die originalen Mitsugi Ohno Klein-Flaschen, seine Unterschrift. Wenn Sie einen 2-Farbdrucker haben, versuchen Sie, seine Unterschrift in blau zu malen. Alternativ können Sie den Druck anhalten, nachdem seine Unterschrift gedruckt wurde, und sie mit einem Filzstift in blau einfärben.

Die bereitgestellte PrusaSlicer *.3mf-Datei ist für einen besseren Druck optimiert, indem Folgendes verwendet wird:

1. Aufgemalte Nähte. Aufgemalte Nähte werden unter dem Hals und auf der Rückseite des oberen Teils des Halses positioniert, um sie weniger sichtbar zu machen. Aufgemalte Nähte werden auch auf der Innenseite des Körpers verwendet.
2. Aufmalbare Stützen. Aufmalbare Stützen sind für die Unterseite des gewölbten Halses und die Oberseite des Lochs an der Seite. Stützen sind für die Oberseite des Lochs an der Seite nicht unbedingt erforderlich, sind aber nützlich, um den Rest der Stütze zu stabilisieren.
3. Höhere Temperatur. Eine höhere Temperatur erhöht die Transparenz des Kunststoffs. Ich habe Voxel Clear PETG bei 270°F verwendet.
4. Den Lüfter ausgeschaltet. Das Ausschalten des Kühlventilators erhöht die Transparenz.
5. Dickerere Schichten. Die Erhöhung der Schichtdicke von 0,2 auf 0,3 erhöhte die Transparenz.
6. Geringere Druckgeschwindigkeit. Die Verlangsamung der Druckgeschwindigkeit um 25 % durch die Einstellung von "Max Volumetric Speed" von der Standardeinstellung von 12 mm³/s auf 3 mm³/s erhöhte die Transparenz dramatisch.
7. 80% Größe. Drucken Sie mit 80% Größe, damit das *.stl-Modell in Ihr Bauvolumen passt und eine Wandstärke von 2 Schichten erzeugt.

Bauen Sie keine Stützen auf der Innenseite der Klein-Flasche, da sie unmöglich zu entfernen sind.

Hinweis: Ich habe festgestellt, dass transparentes PETG transparenter ist als transparentes PLA.