재귀적인 트라이앵글 블로섬: 프래클트 대칭 및 스케일링에 관한 연구
이름: 아메드 엘카르투姆
날짜: 2025년 9월 11일
강의: 조지 메이슨 대학교 수학 401: 3D 프린팅을 통한 수학
배경 및 수학적 동기
이 프로젝트는 자연의 꽃 형태에서 영감을 받아, 스케일러블한 이등변 삼각형을 기반으로 파라메트릭 지오메트리와 방사형 대칭을 이용하여 재귀적인 꽃 구조를 만들어보는 것을 탐구합니다. 이 객체는 수학적 시각화 및 3D 인쇄 워크플로우에서 널리 사용되는 스크립트 기반의 입체 모델링
기반이 되는 수학적 개념에는 재귀적인 레이어링, 방사형 대칭, 기하학적 스케일링이 포함됩니다. 각 '꽃잎'은 세각형 프리즘으로 구성되어 있고, 원형 반지(사용자가 정의한 꽃잎 수 n)에 배열되어 있으며, 점차적으로 줄어들는 레이어로 재귀적으로 쌓여 있습니다. 각 새로운 레이어에 대한 변환은
• 스케일링: 상수 인수 s( 0 < s < 1)는 각 후속 레이어의 크기를 줄입니다.
• 번역: 각 레이어는 이전 레이어의 스케일된 높이에 비례하는 양만큼 수직으로 들어올립니다.
두 색상(빨간색과 노란색) 사이에 선형 블렌딩을 이용한 색상 인터폴레이션이 추가되었습니다. 인터폴레이션은 다음과 같이 정의되어 있습니다:
C(t)=C1+(C2-C1) ⋅t
여기서 t는 정규화된 레이어 인덱스이다(0에서 1까지). 이것은 실제 꽃에서 종종 볼 수 있는 방사형 색상 그라디언트를 시뮬레이션합니다.
코드 및 디자인 프로세스
이 모델은 모듈식 및 재귀적인 구조를 사용하여 오픈SCAD에서 완전히 작성되었습니다. 각 삼각형 잎은 尖과 베이스 사이에 추가적으로 정점을 추가하여 잎의 유기적인 형태를 시뮬레이션하는 작은 곡선 같은 부분을 포함합니다. 주요 로직은 세 개의 사용자 정의 모듈로 구성되어 있습니다:
• 트라이얼 페이스 (): 단일 페달 모양을 정의하고 이를 프리즘으로 추출합니다.
• 트라이얼 링 (): Z 축 주위에서 회전하여 n 개의 꽃잎을 반지에 배열합니다.
• 재귀적인 꽃 (): 자신을 재귀적으로 호출하여 작은, 수직으로 쌓인 반지를 만듭니다.
색상 혼합은 사용자 정의 lerp color(t) 함수를 통해 처리되며, 스케일/높이조정은 재귀적인 매개변수를 통해 이루어집니다. scale()과 translate()의 사용은 각 반복에서 위치와 크기를 완전히 제어할 수 있게 해줍니다.
OpenSCAD는 이러한 접근 방식에 적합하며, 이는 변형, 재귀, 매개변수 모델링과 같은 교육 목적에 특히 중요한 기하학적 제어를 가능하게 하기 때문입니다.
3D 인쇄 지침
• 사용된 프린터: Ultimaker S5
• 필라멘트: PLA (실크 레드/옐로우 그라디언트, 1.75mm)
• 레이어 높이: 0.2 mm
• 인쇄 시간: 약 5시간
• 지원: 필요 없습니다.
• 래프트: 선택 사항; 더 나은 접착력을 위해 사용됩니다.
• 채우기: 10% (비록 모형은 대부분 단단하지만)
인용문 및 자원
• OpenSCAD 문서:https://en.wikibooks.org/wiki/OpenSCAD_User_Manual
• 기하학적 시리즈:https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html