이 3D모형은 게시되었습니다.printables.com그것은 Mitsugi Ohno의 진정한 클라인 병의 복사본입니다.

여기는 ‘진정한 클라인 병’에 대한 이야기입니다.

1892년, 수학자 펠릭스 클라인클라인 병단일 표면을 가진 객체로서, 이 개념은 당신이 병을 상상하고, 그런 다음 병의 목을 회전시해 병의 측면을 통과하게 하며, 회전된 병의 목의 위부와 병의 바닥에 있는 구멍을 연결시키는 생각 실험을 통해 구성되어 있습니다. 수학적 관점에서 보면, 병의 목은 병의 측면을 통과할 때 병의 표면과 만날

캔자스 주립대학의 오노 미쓰기

여기는 에서 복사한 텍스트입니다.오노 미쓰기의 위키피디아 페이지.:

1961년, 캔자스 주립대학의 카드웰 교수는 오노 미쓰기에게 진정한 유리 클라인 병을 만들어달라고 요청했습니다. 이 병은 한 면만 있는 형태로, 관의 측면에 있는 구멍을 통해 관을 회전시킨 다음 다른 끝에 합쳐진 것으로 정식적으로 설명되는데, 이것이 '관의 바깥 표면과 연속되는 구멍을 만들어

클라인 병은 이전에 다른 유리공예가들에 의해 만들어졌지만, 그들의 버전은 밀폐되어 있었으며 튜브가 병의 측면을 통해 들어가는 개방된 구멍이 없었습니다. 며칠 동안 개방이 되는 클라인 병을 만들지 못한 후, 그는 그것이 불가능하다고 선언했습니다. 그러나, 그 문제의 해결책이 오노의 꿈에 나타났고

 

그 회사.ACME 클라인 병들그들은 매우 좋은 글래스 클라인 병의 다양한 크기와 모양을 판매합니다. 그들은 클라인 병에 대한 전문지식을 가지고 있습니다.

각 글래스 클라인 병에는 다양한 문서가 포함되어 있습니다. ACME 클라인 병의 제품 문서에서 인용한 내용은 다음과 같습니다. "우리는 병의 목을 측면으로 확장하고 바닥의 구멍과 합쳐서 유리로 표현합니다. 측면 연결 부분을 제외하고, 이것은 진정한 클라인 병의 모양을 보여줍니다." ACME 클라인 병

캔자스 주립대학에서 공부하는 동안, 오노 미쓰기는 25개의 진정한 글래스 클라인 병을 만들었습니다. 이 글을 쓰는 시점에서, 제 아는 한 진정한 글래스 클라인 병을 만들어본 사람은 오직 한 명뿐입니다.루카스 클라크..

진정한 클라인 병은 4차원 객체의 놀라운 3차원 표현입니다. 그러나, 나는 측면의 구멍이 최고의 표현이 아니라고 생각하는 사람들을 여러 명 만나았고, 따라서 다음 에세이에서는 이 점을 주장할 것입니다.

진정한 클라인 병에 대한 에세이:

우리는 4차원 객체의 최고의 3차원 표현을 결정하기 위한 탐사를 하고 있습니다. 최고라고 결정된 것은 전적으로 주관적이지 않습니다. 아래에서는 오노 미쓰기

1. 측면에 구멍이 있는 진정한 클라인 병입니다.
2. 구멍이 없는 클라인 병입니다.

펠릭스 클라인이 생각했듯이, 병 목의 표면은 병 몸의 표면과 만날 수 없습니다. 클라인 병은 4차원의 공간에서만 존재할 수 있습니다. 우리는 3차원의 공간에서 살고 있기 때문에, 이것이 어떤 모습일지 상상하기 어렵습니다.

아마도 2D세계에서 생각 실험을 시작하면 더 쉽게 상상할 수 있을 것입니다. 이 그림은 2D물체가 자신과 교차하는 예입니다.

이 두차원 세계의 한 교수가 이 물체가 자신과 교차하지 않고, 3차원에서 한 경로가 다른 경로를 우회하여 교차를 방지한다고 말한다면, 아래 그림은 3차원 세계에서 우리가 이 물체를 보는 모습을 보여줍니다.

그러나, 2D 세계의 사람들은 3D에 존재하는 물체의 일부분을 볼 수 없기 때문에, 그들에게 그 물체는 여기에 표시된 것처럼 보입니다.

물론, 3차원 공간으로 들어가는 것은 다른 가장자리일 수 있습니다. 이 경우 2차원 사람들은 아래와 같은 그림을 보게 될 것입니다.

우리는 3D 세계에서 4D Klein 병의 표현을 위해 이 이미지를 확장할 수 있습니다. 여기에는 2개의 표면이 교차하는 우리의 3D Klein 병의 일러스트가 있습니다.

물론, 이 그림은 정확하지 않습니다. 펠릭스 클라인은 2개의 표면이 교차할 수 없다고 주장했기 때문입니다. 이것이 구멍이 없는 클라인 병의 모습입니다. 하지만 2개의 표면이 서로 만나기 때문에 분명히 올바르지 않습니다.

아래 그림은 우리의 3D 클라인 병을 보여주는데, 목이 4D 공간으로 들어가서 우리가 그것을 볼 수 없게 됩니다.

목은 4D에서 존재하지만, 병의 표면을 만지지 않고 통과하여 3D 공간에서 병의 내부에서 다시 목으로 합류합니다. 이 견해는 기술적으로 올바르지만, 보는 것이 혼란을 야기하며, 내부에서 무슨 일이 일어나고 있는지 볼 수가 없습니다.

다음 그림은 우리의 3D 클라인 병을 보여주는데, 병의 표면이 4차원 공간으로 들어가기 때문에 우리는 그것을 볼 수 없습니다.

목이 3D 공간에 남아있기 때문에 우리는 그것을 볼 수 있습니다. 목이 병의 내부까지 이어지고 병의 표면과 교차하지 않는다는 것은 분명합니다. 우리가 3D 세계에서 그러한 병을 만들면, 관찰자는 “표면은 연속적이지만 4차원의 공간에서 존재하기 때문에 볼 수 없습니다.”라고 말하면서 4차원 물체를 만들었다고 생각

우리의 3D세계에서 4D클라인 병을 표현하는 최고의 방법이 이것이라는 논리는 합당해 보이지만, 여전히 이 구멍에 대해 반대하는 사람들이 있기 때문에, 이 구멍을 사용하는 두 가지 추가적인 주장을 제시하자.

주장 1:

구멍이 없는 사람들은 이 디자인을 좋아합니다:

하지만 구멍이 없는 클라인 병의 목을 제거하면, 아래 그림에 표시된 구조를 볼 수 있습니다.

구멍이 없는 사람들의 클라인 병은 표면에 구멍이 있고, 따라서 구멍이 없는 사람들은 구멍의 존재에 대해 이의를 제기하지 않지만, 오히려 구멍의 크기에 대해 이의를 제기하는 것 같습니다. 모형이 유리로 만들어져 있는 경우에는 목을 제거하지 않고도 구멍이 있다는 것을 볼 수 있습니다. 그들의 구멍 없이 주장은 처음에

주장 2:

4차원 클라인 병의 최고 3D 표현을 평가하는 또 다른 테스트는 클라인 병의 표면을 따라 여행하며 그것이 단순한 표면을 포함하고 있다는 것을 증명하는 사고실험입니다. 개미가 표면을 따라 기어오거나, 손가락이 표면을 따라 그려거나, 페인트 브러시가 표면을 그리는 것을 상상하면, 여러분은 회로

개미, 손가락, 또는 그림筆이 클라인 병의 표면을 따라 쉽게 이동하여 출발지로 돌아올 수 있습니다. 이过程中， 개미, 손가락, 또는 그림筆은 병의 목을 따라 개미, 손가락, 또는 그림筆이 구멍을 통과하는 위치로 이동합니다. 구멍이 없으면, 개미, 손가락, 또는 그림筆은 병의 측면을 통과할 수 없습니다.

 

다른 디자인으로, 거의 언급되지 않는 것은 아래 그림에 보여진 것처럼 전혀 구멍이 없는 것입니다.

이 3 차원 표현을 통해 목의 내부와 외부 모두에서 여행 경로가 차단됩니다.

 

때로는 구멍이 없는 사람들이 전체가 금지되어 있다고 주장합니다. 그들은 4차원 클라인 병이 가장자리가 없다는 것을 올바르게 지적합니다. 구형처럼, 4차원 클라인 병의 표면을 따라 여행하면 절대로 벽에 막히거나 가장자리에서 멈추지 않을 것입니다. 여러분은 계속해서 어떤 방향으로든 여행할 수 있습니다. 구멍

• 목 주변에 구멍이 있는 3차원 클라인 병의 표면을 계속 여행하려고 시도하면, 결국 구멍의 가장자리에서 여행이 중단될 것입니다.

그러나, 구멍이 없는 3D 표현도 이 테스트에서 실패합니다:

• 구멍이 없는 3차원 클라인 병의 표면을 계속 여행하려고 시도하면, 목과 병의 표면이 교차하는 지점에서 여행이 방해를 받습니다.

 

구멍이 없는 클라인 병 디자인의 단점은 두 가지밖에 생각나지 않습니다:

1. 만약 여러분이 유리로 3D Klein 병을 만들고 있다면, 구멍이 없는 것으로 만들는 것이 훨씬 더 쉬울 것입니다.
2. 구멍이 없는 3D 클라인 병에 액체를 채울 수 있습니다. 만약 병 목에 구멍이 있는 클라인 병에 액체를 추가하려고 시도하면, 병을 회전시키면 액체가 구멍에서 새어 나올 것입니다.

그 2가지 이점은 실용적이며, 최고의 표현을 위한 위상학적 주장과 아무 관련이 없습니다.

따라서 저는 4 차원 클라인 병의 최고의 3D 표현은 측면에 구멍이 있는 것이라고 결론을 내립니다. 그리고 이 3D 모형에 사용할 최고의 모양은 1961년에 오노 미쓰기가 만들어놓은 측면에 구멍이 있는 모형입니다.

 

인쇄 제안:

이 3 차원 모형은 원래의 미쓰기 오노 클라인 병과 같이 그의 서명이 포함되어 있습니다. 2색 프린터가 있는 경우 그의 서명을 파란색으로 그려보세요. 또는 그의 서명이 인쇄된 후 인쇄를 중단하고 펜 마커로 파란색으로 채울 수도 있습니다.

제공된 PrusaSlicer *.3mf 파일은 다음과 같이 사용하여 더 나은 인쇄를 위해 최적화되었습니다:

1. 페인트-온 스ी밍. 페인트-온 스ी밍은 목 아래와 목의 상부 부분의 뒷면에 배치되어 덜 보이게 합니다. 페인트-온 스ी밍은 또한 신체 내부에서도 사용됩니다.
2. 페인트-온 지원들. 페인트-온 지원들은 아치형 목의 아래쪽과 측면의 구멍의 위쪽을 위한 것입니다. 측면의 구멍의 위쪽에는 지원이 절대적으로 필요하지 않지만, 나머지 지원을 안정화하는 데 유용합니다.
3. 더 높은 온도. 더 높은 온도는 플라스틱의 투명도를 증가시킵니다. 저는 270°F에서 Voxel clear PETG를 사용했습니다.
4. 팬을 끄었습니다. 냉각 팬을 끄는 것이 투명성을 증가시킵니다.
5. 더 두꺼운 레이어. 레이어 높이를 0.2에서 0.3으로 증가시키면 투명도가 증가합니다.
6. 인쇄 속도가 더 느렸습니다. 기본값인 12 mm³/s에서 3 mm³/s로 '최대 부피 속도'를 설정하여 인쇄 속도를 25% 줄이면 투명도가 극적으로 향상됩니다.
7. 80% 크기. *.stl 모형이 당신의 빌드 볼륨에 들어가도록 80% 크기로 인쇄하고 2層의 벽 두께를 만들어 보세요.

Klein 병의 내부에 지지대를 만들지 마세요. 그것들을 제거하는 것이 불가능하기 때문입니다.

참고: 저는 투명 PETG가 투명 PLA보다 더 투명하다는 것을 발견했습니다.