Florecimiento de triángulo recursivo: un estudio de la simetría fractal y la escalación.
Nombres: Ahmed Elkartoum.
Fecha: 11 de septiembre de 2025.
Curso: Matemáticas 401 de la Universidad George Mason: Matemáticas a través de la impresión 3D.
Antecedentes y motivación matemática.
Este proyecto explora la creación de una estructura de flor recursiva utilizando geometría paramétrica y simetría radial, inspirada en formaciones florales naturales y basada en triángulos isósceles escalables. El objeto se genera en OpenSCAD, un lenguaje de modelado sólido basado en scripts ampliamente utilizado en visualización matemática y flujos de trabajo de impresión 3D.
El concepto matemático subyacente involucra estratificación recursiva, simetría radial y escalado geométrico. Cada "pétalo" se construye a partir de un prisma triangular, dispuesto en un anillo circular (con un número de pétalos n definido por el usuario), y se apila recursivamente en capas decrecientes. La transformación para cada nueva capa implica dos operaciones clave:
• Escalado: Un factor constante s (con 0 < s < 1) reduce el tamaño de cada capa subsiguiente.
• Traducción: Cada capa se eleva verticalmente en una cantidad proporcional a la altura a escala de la capa anterior.
Se agregó la interpolación de color entre dos colores (rojo y amarillo) utilizando mezcla lineal. La interpolación se define por:
C(t)=C1+(C2−C1) ⋅t
Donde t es un índice de capa normalizado (de 0 a 1). Esto simula el gradiente de color radial que a menudo se ve en las flores reales.
Proceso de código y diseño.
El modelo está escrito completamente en OpenSCAD utilizando estructuras modulares y recursivas. Cada pétalo de triángulo incluye una pequeña protuberancia similar a una curva al agregar un vértice extra entre la punta y la base para simular la forma orgánica de un pétalo. La lógica principal está estructurada en tres módulos personalizados:
• cara de triángulo (): Define la forma de un solo pétalo y lo extruye a un prisma.
• Anillo triangular (): Organiza n pétalos en un anillo utilizando la rotación alrededor del eje Z.
• flor recursiva (): Se llama a sí misma recursivamente para construir anillos más pequeños, apilados verticalmente.
La mezcla de colores se maneja con una función de color lerp personalizada, y los ajustes de escala/altura se pasan a través de parámetros recursivos. El uso de scale () y translate () proporciona un control total sobre el posicionamiento y la dimensionación en cada iteración.
OpenSCAD es ideal para este enfoque porque permite el control matemático de la geometría, lo cual es especialmente importante para fines educativos que involucran transformaciones, recursión y modelado paramétrico.
Instrucciones de impresión 3D.
• Impresora utilizada: Ultimaker S5
• Filamento: PLA (Gradiente de seda rojo/amarillo, 1.75mm)
• Altura de la capa: 0,2 mm
• Tiempo de impresión: Aprox. 5 horas.
• Soporta: No es necesario.
• Raft: Opcional; se utiliza para una mejor adherencia.
• Relleno: 10% (aunque el modelo es principalmente sólido)
Citas y recursos.
• Documentación de OpenSCAD:
• Serie geométrica:https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html