Ce modèle 3D posté surprintables.com, est une copie de la vraie bouteille de Klein de Mitsugi Ohno.

Voici l'histoire de la "véritable bouteille de Klein".

En 1892, le mathématicien Felix Klein a décrit pour la première fois leLa bouteille de Klein.Comme un objet qui a une seule surface. Il est construit à partir d'une expérience de pensée dans laquelle vous imaginez une bouteille, puis vous enroulez le col de la bouteille autour pour passer à travers le côté de la bouteille et relier le haut du col de la bouteille enroulé à un trou dans le fond de la bouteille. D'un point de vue mathématique, le col de la bouteille ne peut pas toucher la surface de la bouteille lorsqu'il pas

Mitsugi Ohno, de l'Université d'État du Kansas, a été la première personne à avoir créé une véritable bouteille de Klein ; c'est-à-dire une bouteille de Klein avec un trou sur le côté.

Voici du texte copié duLa page Wikipédia de Mitsugi Ohno.:

En 1961, le professeur Cardwell de l'Université d'État du Kansas a demandé à Mitsugi Ohno de construire une véritable bouteille de Klein en verre, une figure unilatérale formellement décrite comme "une enceinte continue avec sa surface extérieure construite en tordant un tube à travers une ouverture dans le côté du tube et en le reliant à l'autre extrémité".

Les bouteilles de Klein avaient déjà été fabriquées par d'autres souffleurs de verre, mais leurs versions étaient scellées et n'avaient pas d'ouverture où le tube passait à travers le côté de la bouteille. Après plusieurs jours d'échec à fabriquer une telle bouteille de Klein avec une ouverture, il a déclaré que c'était impossible. Cependant, la solution au problème s'est révélée à Ohno dans un rêve et il s'est préc

 

La sociétéLes bouteilles ACME Klein.Ils vendent de nombreuses tailles et formes de très jolies bouteilles Klein en verre. Ils sont des experts en matière de bouteilles Klein.

Chaque bouteille de Klein en verre est accompagnée d'une documentation abondante. Voici une citation de la documentation du produit d'ACME Klein Bottles : "Nous le représentons en verre en étirant le col d'une bouteille à travers son côté et en joignant son extrémité à un trou dans la base. Sauf au niveau de la connexion latérale, cela montre la forme d'une véritable bouteille de Klein." De leur propre aveu, les bouteilles

Pendant son séjour à l'Université d'État du Kansas, Mitsugi Ohno a fabriqué 25 vraies bouteilles de Klein en verre. À la date de cette publication, autant que je sache, la seule autre personne qui a fabriqué une vraie bouteille de Klein en verre est...Lucas Clarke..

La vraie bouteille de Klein est une représentation 3D remarquable d'un objet 4D ; cependant, j'ai rencontré plusieurs personnes qui ne sont pas convaincues que le trou sur le côté est la meilleure représentation, c'est pourquoi l'essai suivant aborde ce point.

Essai sur la vraie bouteille de Klein :

Nous sommes en quête de déterminer la meilleure représentation 3D de l'objet 4D. Ce qui est considéré comme le meilleur n'est pas entièrement subjectif. Ce qui suit sont des arguments en faveur de la véritable bouteille de Klein, comme celle faite par Mitsugi Ohno. Il y a principalement deux prétendants pour la meilleure représentation :

1. La vraie bouteille de Klein qui a un trou sur le côté.
2. Une bouteille de Klein sans trou.

Comme envisagé par Felix Klein, la surface du col de la bouteille ne peut pas toucher la surface du corps de la bouteille. La bouteille de Klein ne peut exister qu'en 4 dimensions spatiales. Étant donné que nous vivons dans 3 dimensions spatiales, il est difficile pour nous d'imaginer à quoi cela ressemblerait.

Peut-être qu'il est plus facile d'imaginer cela si nous commençons l'expérience de pensée dans le monde 2D. Cette illustration est un exemple d'un objet 2D qui s'intersecte lui-même.

Disons qu'un professeur dans ce monde 2D dit que cet objet ne s'intersecte pas avec lui-même et qu'un des chemins s'incurve par rapport à l'autre en 3D pour éviter l'intersection. L'illustration suivante montre à quoi ressemblerait l'objet pour nous dans le monde 3D.

Cependant, les gens dans le monde 2D ne peuvent pas voir la partie de l'objet qui existe en 3D, donc pour eux, l'objet ressemble à celui montré ici.

Bien sûr, il se pourrait que ce soit l'autre bord qui pénètre dans l'espace 3D. Dans ce cas, les gens en 2D verraient la figure suivante.

Nous pouvons étendre ces images pour notre représentation de la bouteille de Klein en 4D dans notre monde en 3D. Voici une illustration de notre bouteille de Klein en 3D où les deux surfaces se croisent.

Bien sûr, l'illustration ne semble pas correcte parce que Felix Klein a déclaré que les deux surfaces ne peuvent pas se croiser. Voilà à quoi ressemble la bouteille de Klein sans trou, mais il est clair que ça n'a pas l'air correct parce que les deux surfaces se touchent.

L'illustration suivante montre notre bouteille de Klein en 3D où le col pénètre dans l'espace 4D et devient donc invisible pour nous.

Le col, bien qu'il existe en 4D, traverse la surface de la bouteille sans la toucher et rejoint le col à l'intérieur de la bouteille dans l'espace 3D. Cette vue est techniquement correcte, car les deux surfaces ne se touchent pas, mais c'est déroutant à regarder ; vous ne pouvez pas voir ce qui se passe à l'intérieur.

L'illustration suivante montre notre bouteille de Klein en 3D où la surface de la bouteille pénètre dans l'espace 4D, donc elle est invisible pour nous.

Nous pouvons voir le col parce qu'il reste dans l'espace 3D. Il est clair pour nous que le col se poursuit à l'intérieur de la bouteille et ne croise pas la surface de la bouteille. Si nous fabriquions une telle bouteille dans notre monde 3D, un observateur pourrait prétendre que nous avons réellement fabriqué un objet 4D en disant : "La surface est continue, mais vous ne pouvez pas la voir parce qu'elle existe

L'argument logique selon lequel c'est la meilleure façon de représenter la bouteille de Klein en 4D dans notre monde en 3D semble solide, pourtant il y a toujours des gens qui s'opposent à ce trou, alors laissez-moi présenter 2 arguments supplémentaires pour utiliser ce trou.

Arguement 1 :

Les gens qui n'aiment pas les trous aiment ce design :

Mais si vous enlevez le col de la bouteille de Klein sans trou, vous voyez la structure montrée dans l'illustration suivante.

La bouteille de Klein des gens sans trou a un trou sur la surface, donc vraisemblablement, les gens sans trou ne s'opposent pas à l'existence d'un trou, mais plutôt à sa taille. Si le modèle est fabriqué en verre, il est possible de voir qu'il y a un trou sans enlever le col. Leur argument pour l'absence de trou semble être moins solide qu'il n'y paraissait à l'origine.

Argument 2 :

Un autre test pour évaluer la meilleure représentation 3D de la bouteille de Klein 4D est une expérience de pensée dans laquelle vous voyagez le long de la surface de la bouteille de Klein pour prouver qu'elle contient une seule surface. Si vous imaginez une fourmi rampant le long de la surface, ou votre doigt traçant la surface, ou un pinceau peignant la surface, vous pouvez compléter le circuit et revenir au point de départ. La figure suivante montre une coupe trans

Votre fourmi, votre doigt ou votre pinceau peuvent facilement se déplacer le long de la surface de la bouteille de Klein et revenir à l'endroit où ils ont commencé. Ce faisant, le voyage se poursuit le long du col de la bouteille jusqu'à l'endroit où la fourmi, le doigt ou le pinceau passent à travers le trou. Sans le trou, la fourmi, le doigt ou le pinceau sont bloqués et ne peuvent pas traverser

 

Un autre design qui est rarement discuté est celui où il n'y a pas de trous du tout, comme le montre l'illustration suivante.

Avec cette représentation 3D, les chemins de voyage sont bloqués à la fois à l'intérieur et à l'extérieur du cou.

 

Parfois, les gens qui ne croient pas en l'existence de trous affirment que l'ensemble est interdit. Ils soulignent à juste titre que la bouteille de Klein en 4D n'a pas d'arêtes. Tout comme une sphère, si vous voyagez le long de la surface de la bouteille de Klein en 4D, vous ne serez jamais bloqué par un mur ou arrêté à une arête. Vous pouvez voyager dans n'importe quelle direction en continu.

• Si vous essayez de voyager en continu sur la surface de la bouteille de Klein en 3D qui a un trou autour du col, le voyage s'arrête finalement à l'orifice du trou.

Cependant, la représentation 3D sans trou échoue également à ce test :

• Si vous essayez de voyager en continu sur la surface de la bouteille de Klein 3D qui n'a pas de trou, le voyage est bloqué à l'intersection du col et de la surface de la bouteille.

 

Je ne peux penser qu'à deux avantages de la conception de la bouteille de Klein sans trou :

1. Si vous fabriquez la bouteille de Klein en 3D à partir de verre, il est beaucoup plus facile de le faire sans trou.
2. Vous pouvez remplir une bouteille de Klein 3D sans trou de liquide. Si vous essayez d'ajouter du liquide à une bouteille de Klein qui a un trou autour du col de la bouteille, le liquide s'écoule par le trou lorsque vous tournez la bouteille.

Ces 2 avantages sont pratiques et n'ont rien à voir avec les arguments topologiques pour la meilleure représentation.

Par conséquent, je conclus que la meilleure représentation 3D de la bouteille de Klein en 4D est celle avec un trou sur le côté. Et la meilleure forme à utiliser dans ce modèle 3D est celle créée par Mitsugi Ohno en 1961 avec un trou sur le côté.

 

Suggestions d'impression :

Ce modèle 3D, comme les bouteilles Mitsugi Ohno Klein originales, contient sa signature. Si vous avez une imprimante 2 couleurs, essayez de peindre sa signature en bleu. Sinon, vous pouvez mettre l'impression en pause après l'impression de sa signature et la colorer en bleu avec un marqueur à pointe feutre.

Le fichier PrusaSlicer *.3mf fourni est optimisé pour une meilleure impression en utilisant :

1. Des coutures peintes. Les coutures peintes sont positionnées sous le cou et à l'arrière de la partie supérieure du cou pour les rendre moins visibles. Les coutures peintes sont également utilisées à l'intérieur du corps.
2. Supports à peindre. Les supports à peindre sont destinés à la face inférieure du cou arqué et au sommet du trou sur le côté. Les supports ne sont pas absolument nécessaires pour le sommet du trou sur le côté, mais ils sont utiles pour stabiliser le reste du support.
3. Une température plus élevée. Une température plus élevée augmente la transparence du plastique. J'ai utilisé du PETG transparent Voxel à 270°F.
4. J'ai éteint le ventilateur. Éteindre le ventilateur de refroidissement augmente la transparence.
5. Des couches plus épaisses. Augmenter la hauteur de la couche de 0,2 à 0,3 a augmenté la transparence.
6. Vitesse d'impression plus lente. Ralentir la vitesse d'impression de 25% en réglant la "Vitesse volumétrique maximale" de la valeur par défaut de 12 mm³/s à 3 mm³/s a considérablement augmenté la transparence.
7. Taille 80%. Imprimez à une taille de 80% afin que le modèle *.stl s'adapte à votre volume de construction et crée une épaisseur de mur de 2 couches.

Ne construisez pas de supports à l'intérieur de la bouteille de Klein, car ils sont impossibles à retirer.

Remarque : J'ai trouvé que le PETG transparent est plus transparent que le PLA transparent.