Este modelo 3D publicado enprintables.com, es una copia de la verdadera botella de Klein de Mitsugi Ohno.

Aquí está la historia sobre la "verdadera botella de Klein".

En 1892, el matemático Felix Klein describió por primera vez elBotella de Klein.Como un objeto que tiene una sola superficie. Se construye con un experimento mental en el que imaginas una botella, y luego enrollas el cuello de la botella para que pase a través del lado de la botella y conectas la parte superior del cuello de la botella enrollado con un agujero en la parte inferior de la botella. Desde una perspectiva matemática, el cuello de la botella no puede entrar en contacto con la superficie de la botella cuando pasa a través del lado de la botella

Mitsugi Ohno, de la Universidad Estatal de Kansas, fue la primera persona en haber creado una verdadera botella de Klein; es decir, una botella de Klein con un agujero en el lado.

Aquí está el texto copiado delPágina de Wikipedia de Mitsugi Ohno.:

En 1961, el profesor Cardwell de la Universidad Estatal de Kansas le pidió a Mitsugi Ohno que construyera una verdadera botella de vidrio de Klein, una figura de un solo lado descrita formalmente como "un recinto continuo con su superficie exterior construido al torcer un tubo a través de una abertura en el lado del tubo y unirlo al otro extremo".

Los frascos de Klein habían sido fabricados anteriormente por otros sopladores de vidrio, pero sus versiones estaban selladas y no tenían un orificio abierto donde el tubo pasaba por el lado del frasco. Después de varios días sin poder fabricar un frasco de Klein con una abertura, declaró que era imposible. Sin embargo, la solución al problema se le reveló a Ohno en un sueño y se apresuró a ir a su oficina para fabricarlo. Fue la pie

 

La empresa.Botellas ACME Klein.Vende muchos tamaños y formas de botellas de vidrio Klein muy bonitas. Tienen experiencia en botellas Klein.

Cada botella de vidrio de Klein viene con amplia documentación. Aquí hay una cita de la documentación del producto de ACME Klein Bottles: "Lo representamos en vidrio estirando el cuello de una botella a través de su lado y uniendo su extremo a un orificio en la base. Excepto en la conexión lateral, esto muestra la forma de una verdadera botella de Klein". Por su propia admisión, las botellas de ACME Klein no venden "botellas de Klein verdaderas

Mientras estaba en la Universidad Estatal de Kansas, Mitsugi Ohno hizo 25 botellas de Klein de vidrio verdadero. A partir de esta publicación, hasta donde puedo decir, la única otra persona que ha hecho una botella de Klein de vidrio verdadero esLucas Clarke..

La verdadera botella de Klein es una notable representación 3D de un objeto 4D; sin embargo, he conocido a varias personas que no están convencidas de que el agujero en el lado sea la mejor representación, por lo que el siguiente ensayo argumenta este punto.

Ensayo sobre la verdadera botella de Klein:

Estamos en una búsqueda para determinar la mejor representación 3D del objeto 4D. Lo que se determina como el mejor no es completamente subjetivo. Lo que sigue son argumentos a favor de la verdadera botella de Klein, como la realizada por Mitsugi Ohno. Hay principalmente 2 contendientes para la mejor representación:

1. La verdadera botella de Klein que tiene un agujero en el lado.
2. Una botella de Klein sin un agujero.

Como lo imaginó Felix Klein, la superficie del cuello de la botella no puede tocar la superficie del cuerpo de la botella. La botella de Klein solo puede existir en 4 dimensiones espaciales. Dado que vivimos en 3 dimensiones espaciales, es difícil para nosotros imaginar cómo se vería esto.

Tal vez sea más fácil imaginarlo si comenzamos el experimento mental en el mundo 2D. Esta ilustración es un ejemplo de un objeto 2D que se intersecta a sí mismo.

Supongamos que un profesor en este mundo 2D dice que este objeto no se intersecta consigo mismo y que uno de los caminos se curva sobre el otro en el 3D para evitar la intersección. La siguiente ilustración muestra cómo nos aparecería el objeto en el mundo 3D.

Sin embargo, la gente en el mundo 2D no puede ver la parte del objeto que existe en 3D, por lo que para ellos el objeto se ve como el que se muestra aquí.

Por supuesto, podría ser que sea el otro borde el que entre en el espacio 3D. En ese caso, las personas en 2D verían la siguiente figura.

Podemos extender estas imágenes para nuestra representación de la botella de Klein en 4D en nuestro mundo 3D. Aquí hay una ilustración de nuestra botella de Klein en 3D donde las 2 superficies se intersectan.

Por supuesto, la ilustración no se ve correcta porque Felix Klein afirmó que las 2 superficies no pueden intersectarse. Así es como luce la botella de Klein sin agujero, pero claramente no se ve bien porque las 2 superficies se tocan entre sí.

La siguiente ilustración muestra nuestra botella de Klein en 3D, donde el cuello entra en el espacio 4D y, por lo tanto, se vuelve invisible para nosotros.

El cuello, aunque existe en 4D, pasa a través de la superficie de la botella sin tocarla y se vuelve a unir al cuello en el interior de la botella en el espacio 3D. Esta vista es técnicamente correcta, porque las dos superficies no se tocan, pero es confusa a la vista; no puedes ver lo que está pasando dentro.

La siguiente ilustración muestra nuestra botella de Klein en 3D, donde la superficie de la botella entra en el espacio 4D, por lo que es invisible para nosotros.

Podemos ver el cuello porque permanece en el espacio 3D. Es evidente para nosotros que el cuello continúa hacia el interior de la botella y no intersecta la superficie de la botella. Si hiciéramos una botella así en nuestro mundo 3D, un observador podría pretender que realmente hicimos un objeto 4D diciendo: "La superficie es continua, pero no puedes verla porque existe en la 4ª dimensión espacial". Esa afirmación es interesante, pero,

El caso lógico de que esta sea la mejor manera de representar la botella de Klein en 4D en nuestro mundo 3D parece sólido, sin embargo, todavía hay personas que se oponen a este agujero, así que permítame presentar 2 argumentos más para usar el agujero.

Argumento 1:

A la gente sin agujeros les gusta este diseño:

Pero si quitas el cuello de la botella de Klein sin agujero, ves la estructura que se muestra en la siguiente ilustración.

La botella de Klein de la gente sin agujeros tiene un agujero en la superficie, por lo que presumiblemente, la gente sin agujeros no se está oponiendo a la existencia de un agujero, sino más bien al tamaño del agujero. Si el modelo está hecho de vidrio, es posible ver que hay un agujero sin quitar el cuello. Su argumento a favor de no tener agujeros parece ser menos sólido de lo que originalmente parecía ser.

Argumento 2:

Otra prueba para evaluar la mejor representación 3D de la botella de Klein 4D es un experimento mental en el que viajas a lo largo de la superficie de la botella de Klein para demostrar que contiene una sola superficie. Si imaginas una hormiga arrastrándose a lo largo de la superficie, o tu dedo trazando la superficie, o un pincel pintando la superficie, puedes completar el circuito y volver al punto de partida. La siguiente figura muestra una sección

Tu hormiga, dedo o pincel pueden viajar fácilmente a lo largo de la superficie de la botella de Klein y volver al punto de partida. Al hacerlo, el viaje procede a lo largo del cuello de la botella hasta la ubicación donde la hormiga, dedo o pincel pasa a través del agujero. Sin el agujero, la hormiga, dedo o pincel están bloqueados y no pueden viajar a través del lado de la botella.

 

Otro diseño del que rara vez se habla es aquel en el que no hay agujeros en absoluto, como se muestra en la siguiente ilustración.

Con esta representación en 3D, las rutas de viaje están bloqueadas tanto dentro como fuera del cuello.

 

A veces, las personas que no creen en los agujeros argumentan que el todo está prohibido. Señalan correctamente que la botella de Klein en 4D no tiene bordes. Al igual que una esfera, si viajas a lo largo de la superficie de la botella de Klein en 4D, nunca te bloqueará una pared ni te detendrá en un borde. Puedes viajar en cualquier dirección continuamente. La representación en 3D con un agujero no permite esta propiedad:

• Si intentas viajar continuamente sobre la superficie de la botella de Klein 3D que tiene un agujero alrededor del cuello, el viaje finalmente se detiene en el borde del agujero.

Sin embargo, la representación en 3D sin un agujero también falla en esta prueba:

• Si intentas viajar continuamente sobre la superficie de la botella de Klein 3D que no tiene ningún agujero, el viaje se bloquea en la intersección del cuello y la superficie de la botella.

 

Solo puedo pensar en 2 ventajas del diseño de la botella de Klein sin agujeros:

1. Si estás haciendo la botella de Klein en 3D con vidrio, es mucho más fácil hacerla sin agujeros.
2. Puedes llenar una botella de Klein 3D sin agujeros con líquido. Si intentas agregar líquido a una botella de Klein que tiene un agujero alrededor del cuello de la botella, el líquido se derrama por el agujero cuando giras la botella.

Esas 2 ventajas son prácticas y no tienen nada que ver con los argumentos topológicos para la mejor representación.

Por lo tanto, concluyo que la mejor representación 3D de la botella de Klein 4D es con un agujero en el lado. Y la mejor forma de usar en este modelo 3D es la que hizo Mitsugi Ohno en 1961 con un agujero en el lado.

 

Sugerencias de impresión:

Este modelo 3D, al igual que las botellas originales de Mitsugi Ohno Klein, contiene su firma. Si tienes una impresora de 2 colores, intenta pintar su firma en azul. Alternativamente, puedes pausar la impresión después de que se imprima su firma y colorearla de azul con un marcador de punta de fieltro.

El archivo PrusaSlicer *.3mf proporcionado está optimizado para una mejor impresión mediante el uso de:

1. Costuras pintadas. Las costuras pintadas se colocan debajo del cuello y en la parte posterior de la parte superior del cuello para que sean menos visibles. Las costuras pintadas también se utilizan en el interior del cuerpo.
2. Soportes aplicables con pintura. Los soportes aplicables con pintura son para la parte inferior del cuello arqueado y la parte superior del orificio en el lado. Los soportes no son absolutamente necesarios para la parte superior del orificio en el lado, pero son útiles para estabilizar el resto del soporte.
3. Temperatura más alta. Una temperatura más alta aumenta la transparencia del plástico. Utilicé PETG transparente de Voxel a 270°F.
4. Apagó el ventilador. Apagar el ventilador de refrigeración aumenta la transparencia.
5. Capas más gruesas. Aumentar la altura de la capa de 0,2 a 0,3 aumentó la transparencia.
6. Velocidad de impresión más lenta. Ralentizar la velocidad de impresión en un 25% al establecer "Velocidad volumétrica máxima" desde el valor predeterminado de 12 mm³/s a 3 mm³/s aumentó drásticamente la transparencia.
7. Tamaño del 80%. Imprime a un tamaño del 80% para que el modelo *.stl quepa en tu volumen de construcción y cree un espesor de pared de 2 capas.

No construya soportes en el interior de la botella de Klein porque son imposibles de quitar.

Nota: Descubrí que el PETG transparente es más transparente que el PLA transparente.