发布在 上的这个 3D 模型printables.com，这是大野光吉

以下是关于“真克莱因瓶”的故事。

1892年，数学家费利克斯・克莱因首次对这种现象进行了描述。克莱因瓶它被视为一个只有单一表面的物体。这种概念的构建源于一个思维实验：你先想象一个瓶子，然后将瓶颈弯曲，使其穿过瓶身，并将弯曲后的瓶颈顶部与瓶底的一个孔相连。从数学角度来看，当瓶颈穿过瓶身时，它与瓶身表面是无法接触的。

堪萨斯州立大学的Mitsugi Ohno是第一个成功制造出真正的克莱因瓶的人——即在侧面开有孔洞的克莱因瓶。

以下是从 复制过来的文本：尾野光吉的维基百科页面:

1961年，堪萨斯州立大学的卡德韦尔教授邀请大野光吉制作一个真正的玻璃克莱因瓶。这种单面几何体被正式定义为"一种封闭体，其外表面通过将一根管子扭曲穿过管子侧面的开口并将其与另一端连接而形成"。

克莱因瓶此前曾被其他玻璃吹制工制作过，但他们的版本都是密封的，没有让玻璃管穿过瓶身侧面的开口。经过数日尝试，始终未能制作出带有开口的克莱因瓶后，他宣称这是不可能完成的任务。然而，问题的解决方案在一次梦境中向大野显幸显现，他随即冲进办公室将其制作出来。这是他漫长职业生涯中制作的最困难的玻璃制品，也是他最引以为傲的成就。他首个成功制作的克莱因瓶

 

公司ACME 克莱因瓶系列产品他们出售多种尺寸和形状的精美克莱因瓶，堪称克莱因瓶领域的专家级存在。

每款克莱因玻璃瓶都附有详尽的说明文件。以下是ACME克莱因瓶产品说明中的一段文字："我们通过将瓶子颈部向侧面延伸，并将其末端与瓶底的孔洞连接起来，以玻璃形式呈现克莱因瓶的形态。除侧面连接处外，这种设计完全还原了真正的克莱因瓶的形状。" 据ACME公司自己承认，他们出售的并非"真正的克莱因瓶"；所有他们的玻璃克莱因瓶在侧面都是密封的，没有开放的

米措吉・大野在堪萨斯州立大学期间制作了25个真正的玻璃克莱因瓶。截至本文发布时，据我所知，唯一另一个制作出真正玻璃克莱因瓶的人是卢卡斯·克拉克。

真正的克莱因瓶是对四维物体的一种非凡的三维呈现；然而，我遇到过不少人不认为侧面的小孔是最佳的呈现方式，因此本文将对此观点展开论证。

关于真克莱因瓶的论文：

我们正致力于确定四维物体的最佳三维表示方式。所谓“最佳”并非完全主观判断。以下将阐述一些支持米措吉・大野提出的克莱因瓶真实模型的论据。目前主要有两个候选方案有望成为最佳表示方式：

1. 真正的克莱因瓶，其侧面有一个洞。
2. 一个没有洞的克莱因瓶。

按照费利克斯·克莱因的设想，瓶颈的表面不能与瓶身的表面相接触。克莱因瓶只能存在于四维空间中。由于我们生活在三维空间中，很难想象它的具体形态。

或许，如果我们从二维世界开始这个思维实验，会更容易理解。下图展示了一个二维物体自我交叉的示例。

假设这个二维世界中的一位教授声称，这个物体不会与自身相交，并且在三维空间中，其中一条路径会弯曲避开另一条路径以避免相交。下图展示了这个物体在三维世界中呈现给我们的样子。

然而，2D世界中的人们看不到物体在3D空间中存在的部分，所以对他们而言，这个物体看起来就像这里展示的这个样子。

当然，也可能是另一边延伸到了三维空间。那样的话，二维世界的人们看到的就会是下面的图形了。

基于我们对三维世界中四维克莱因瓶的理解，我们可以进一步拓展这种意象。这里为大家展示的是三维克莱因瓶的示意图，其中两块表面相交的部分清晰可见。

当然，这幅图示看起来并不正确，因为费利克斯・克莱因曾指出，这两个曲面是不可能相交的。这就是无孔克莱因瓶的样子，但它显然看起来不太对劲，因为这两个曲面是相互接触的。

下图展示了我们的三维克莱因瓶，其中瓶颈进入四维空间，因此对我们来说变得不可见了。

尽管瓶颈存在于四维空间，但它在穿过瓶身表面时并不会与瓶身接触，而是会在三维空间中回到瓶内与瓶颈重新连接。从技术角度来看，这种观点是正确的，因为两者的表面并未发生接触。但从视觉角度来看，这种情况却令人困惑——你根本无法看清瓶内的情况。

下图展示了我们的三维克莱因瓶，其中瓶子的表面延伸至四维空间，因此我们是看不见它的。

由于瓶颈仍处于三维空间中，我们能够清晰地看到它。很显然，瓶颈一直延伸至瓶身内部，且不会与瓶身表面相交。如果我们在三维世界中制作这样一个瓶子，观察者可能会误以为我们创造了一个四维物体，并声称：“瓶身表面是连贯的，但由于它存在于第四维空间，所以你看不到它。” 这种说法固然有趣，但显然是站不住脚的，因为我们根本无法在四维空间中制造物体。我们所做的不过是尽可能精确地在三维空间

用这种方法在三维世界中呈现四维克莱因瓶，看似合乎逻辑，但仍有人反对这种做法。接下来，我将再提出两个支持使用这个洞的论点。

论点 1：

那些不喜欢打孔的人应该会喜欢这种设计：

但如果你把无孔克莱因瓶的颈部去掉，你会看到如下图所示的结构。

无孔派的克莱因瓶表面上确实有个孔，所以推测无孔派反对的不是孔的存在，而是孔的大小。如果用玻璃制作模型，无需拆除瓶颈就能看到孔的存在。他们提出的"无孔"论点似乎比最初看起来要站不住脚了。

论点 2：

评估四维克莱因瓶最佳三维表示的另一个测试是这样一个思维实验：你沿着克莱因瓶的表面移动，以证明它只包含一个表面。假如你想象一只蚂蚁沿着表面爬行，或者用手指沿着表面划线，又或者用画笔在表面作画，你都能完成这个闭合路径并回到起点。下图展示了三维克莱因瓶的横截面，其侧面有一个孔洞。

你的蚂蚁、手指或画笔可以轻松地沿着克莱因瓶的表面移动，并回到出发点。移动过程中，蚂蚁、手指或画笔会沿着瓶颈到达蚂蚁、手指或画笔穿过瓶孔的位置。如果没有瓶孔，蚂蚁、手指或画笔就会被阻挡，无法穿过瓶子的侧面进行移动。

 

还有一种设计很少被提及，那就是完全没有任何孔洞的，如下图所示。

通过这种三维模型展示，颈部内外部的旅行路径都被阻断了。

 

有些认为不存在洞的人会反驳说，整个四维克莱恩瓶是禁止存在的。他们正确地指出四维克莱恩瓶没有边界。就像球体一样，如果沿着四维克莱恩瓶的表面移动，你永远不会被墙壁阻挡或被边界限制。你可以沿着任何方向连续移动。而带有洞的三维模型则不具备这种特性：

• 如果你试图在带有颈部孔洞的三维克莱恩瓶表面进行连续旅行，最终会被困在孔洞边缘，无法继续前行。

然而，没有孔洞的 3D 模型同样无法通过这项测试：

• 如果你试图在没有孔洞的三维克莱恩瓶表面进行连续旅行，那么在瓶颈与瓶身的交汇处，你的行程就会被阻断。

 

关于无孔克莱因瓶的设计，我只能想到两个优点：

1. 如果你要用玻璃制作克莱因瓶，那么制作无孔版本会容易得多。
2. 你可以将液体倒入无孔的3D克莱因瓶中。若尝试向瓶颈周围有孔的克莱因瓶中添加液体，当你旋转瓶子时，液体就会从孔中流出。

上述两个优势具有实用性，与最佳表现形式的拓扑学论证毫无关联。

因此，我得出结论：四维克莱因瓶的最佳三维呈现方式是侧面带有一个洞。而在这种三维模型中，最合适的形状当属1961年大野光吉

 

打印建议：

与原版大野光吉

所提供的 PrusaSlicer *.3mf 文件经过优化，通过以下方式确保打印效果更佳：

1. 隐形缝线。隐形缝线通常位于领口下方以及领口上部背面区域，这样可以让缝线不那么显眼。这种缝线也会应用于服装的内侧面。
2. 涂抹式支撑装置。涂抹式支撑装置用于琴颈拱形部分的底面以及侧面音孔顶部。对于侧面音孔顶部而言，使用支撑装置并非绝对必要，但它有助于稳固其他支撑部件。
3. 提高温度。较高的温度会增强塑料的透明度。我使用的是Voxel Clear PETG材料，加工温度设为270华氏度
4. 关闭风扇。关闭冷却风扇可以提高显示屏的透明度。
5. 更厚的层厚度。将层厚度从 0.2 毫米增加到 0.3 毫米，可以显著提升模型的透明度。
6. 降低打印速度。将“最大体积速度”从默认的12 mm³/s调整至3 mm³/s，进而将打印速度降低25%，这样一来，透明度就得到了显著提升。
7. 80%尺寸。以80%尺寸进行打印，这样*.stl模型就能完美适配你的打印机尺寸，并生成2层厚度的墙体结构。

请勿在克莱因瓶的内部搭建支撑结构，因为这些支撑结构根本无法拆除。

注意：我发现透明PETG材料比透明PLA材料的透明度更高。