再帰的なトライアングル・ブロッサム：フラクタル対称性とスケーリングの研究
名前：アフメド・エルカルトゥム
日付：2025年9月11日
コース：ジョージ・メイソン大学数学401：3Dプリンティングを通じた数学
背景と数学的な動機付け
このプロジェクトでは、自然の花の形成にインスピレーションを受けて、パラメトリックジオメトリと放射状の対称性を用いて再帰的な花の構造を作成します。この構造は、数学的な視覚化や3D印刷のワークフローで広く使用されているスクリプトベースのソリッドモデリング言語であるOpenSCADで生成されます。
その根底にある数学的概念は、再帰的な層構造、放射状の対称性、幾何学的スケーリングに関係しています。各「花びら」は、三角形のプリズムで構成され、円形のリングに配置され(ユーザーが定義した花びらの数n)、そして递減的な層に再帰的に積み重ねられます。各新しい層の変換には、2つの主要な操作が関わってきます。
• スケーリング: 定数係数 s (0 < s < 1) は、各後続層のサイズを縮小します。
• 翻訳: 各層は、前の層のスケーリングされた高さに比例した量だけ垂直に上げられます。
線形ブレンディングを使用して、2色(赤と黄色)の間にカラーインターポリエーションが追加されました。インターポリエーションは次のように定義されています。
C(t)=C1+(C2-C1) ⋅t
ここで、tは標準化された層のインデックス(0から1まで)です。これは、実際の花によく見られる放射状の色グラデーションを模擬するものです。
コードとデザインのプロセス
このモデルは、モジュール式と再帰的な構造を使用してOpenSCADで完全に書かれています。各三角形の花びらは、先端と根元の間に余分な頂点を追加することで、花びらの有機的な形状を模擬する小さな曲線のような凸形状を含んでいます。メインロジックは、3つのカスタムモジュールで構成されています。
• トライアングルフェイス (): シングルペタルの形状を定義し、それをプリズムにエクストルードします。
• トライアングルリング (): Z軸を中心に回転して、n枚の花びらをリングに配置します。
• 再帰的ブロッサム (): 自分自身を再帰的に呼び出して、より小さな垂直に積み重ねられたリングを作ります。
カラーブレンディングはカスタムのlerp color(t)関数で処理され、スケール/ハイトの調整は再帰的パラメータを経由して行われます。scale()とtranslate()の使用により、各反復で位置と寸法を完全に制御できます。
OpenSCADはこのアプローチに最適で、幾何学を数学的に制御できるため、変換、再帰、パラメトリックモデリングを含む教育目的に特に重要です。
3D印刷の指導書
• 使用したプリンタ: Ultimaker S5
• フィラメント：PLA(シルクレッド/イエローグラデーション、1.75 mm)
• 層の厚さ: 0.2 mm
• 印刷時間：約5時間
• サポート：不要
• ラフト：オプション。より良い接着性に使用されます。
• インフィル: 10% (ただし、モデルはほとんど固体です)
引用とリソース
• OpenSCADのドキュメンテーション：https://en.wikibooks.org/wiki/OpenSCAD_User_Manual
• 幾何級数：https://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html